高等数学（下册）对“通解”的定义是：

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。（脚注：这里所说的任意常数是相互独立的，就是说，它们不能合并而使得任意常数的个数减少（参看本章第七节关于函数的线性相关性）.）

而我们通常对“通解”的看法是：
如果一个表达式中含有任意常数，且当这些常数取定任何值时该表达式都是某微分方程的解，而该微分方程的任何解都能通过在该表达式中选取特定常数值得到，则该表达式就是该微分方程的通解。

我想：
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，那么可以证明，这样的解是满足上述要求的表达式。这样的解就叫做微分方程的通解。

事实上，解题指导（链接）里面只给出了一个证明：二阶线性的通解包含了一切解……

可见，“通解”其实只是一个名称，而我们对“通解”的不切实际的期望在于希望“通解”能包含微分方程的一切解。

在解常系数微分方程时，有用“常数变易法”的特殊方法。而更一般的方法是根据微分方程的特征方程求特征根的方法，其关键之处在于“先验”地设待求函数为[latex]y=e^{rx}[/latex].

联想到在信号与系统与离散时间信号处理中求解差分方程时，也是“先验”地“认定”解具有[latex]y=e^{rx}[/latex]之类的指数函数的形式，我当时就震惊了，纳闷道：万一我发现一个解根本不具有这样的形式呢？怎么能如此武断地认定其解就一定都具有这样的指数函数的形式呢？

我在重读goto:P301时觉得还是很有道理的：

“由上节讨论可知，要找微分方程(2)的通解，可以先求出它的两个解，如果这两个解之比不恒等于常数，即这两个解线性无关，那么这两个解的线性组合就是方程(2)的通解。
当r为常数时，指数函数[latex]y=e^{rx}[/latex]和它的各阶导数都只相差一个常数因子。由于指数函数有这个特点，因此我们用[latex]y=e^{rx}[/latex]来尝试，看能否选取适当的常数r，使[latex]y=e^{rx}[/latex]满足方程(2).”

此处的逻辑在于：先求出微分方程两个线性无关的（特）解，然后根据通解的定义（任意常数的个数与微分方程的阶数相同），它们的线性组合即为微分方程的“通解”；再援引解题指导中的证明，二阶线性的通解包含了一切解……

所以说我们有充足的理由“先验”地认定微分方程的解具有指数函数的形式，因为我们只是要找出两个线性无关的特解。两个特解，不管它们最后看上去具有什么稀奇古怪的形状，只要它们是线性无关的，那么它们就可以给出“通解”，即给出微分方程的所有解。事实上，我们“先验”地认定解具有其他稀奇古怪的形式也行，只要能最后顺利找出两个线性无关的特解。但相较而言，似乎[latex]y=e^{rx}[/latex]之类指数函数形式的特解更易找出，所以都首先认定微分方程解具有这样的形式罢。

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另外，联想起线性代数中用Gauss消元法求解线性方程组，把Gauss消元法步骤直接作用到增广矩阵上作行初等变换得于行标准形时，自由未知量可以任意选定。其理论依据也在于：

[线性代数][]P119定理4.4：设m×n型齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的秩为r(A)，则AX=0的解空间N(A)的维数：dimN(A)=n－r(A).

[线性代数][]P93定理3.8：若向量空间V的维数dimV=r，则V中任意r个线性无关的向量都是V的基.

[线性代数][]P120推论1：m×n型齐次线性方程组AX=0的任意n－r(A)个线性无关的解都是AX=0的基础解系.

故而可以任意选定自由未知量，因为我们只是想要找到n－r(A)个确定的线性无关的特解即可。

[线性代数]